共振回路のQ値(Quality factor)を抽出するユーザー定義関数を紹介します．共振回路の等価キャパシタンス，等価インダクタンスを抽出する関数も合わせて紹介します．この方法はSonnetの解析結果だけでなく測定結果や公開されているSパラメータ(s2pファイル)にも適用できます．Q値はヴィアや線路など低損失な系の評価，アンテナの放射損失など多くの重要な概念に応用できます．
応用例 : アンテナの放射効率の算出
ソネット入門に掲載されている逆Fアンテナのモデルを例に，この関数を使ってアンテナの放射効率を算出してみました．
- ソネット入門に掲載されている逆Fアンテナのモデルをグラフに表示してQuality factorを求めます．
- モデルを別の名前に保存して，導体を無損失の理想導体に，基板のtandを0にして解析し，Quality factorを求めます．
- 上の2つのQの比からアンテナの放射効率を求めます．
アンテナから送信する場合を考えると，アンテナに注入されたエネルギーの一部はアンテナ内部でおそらくは熱になり，残りが空間に放射されます．注入されたエネルギーと空間に放射されるエネルギーの比がアンテナの放射効率\(\eta\)です．これをQで表現すると
\(\eta=\frac{Q_t}{Q_r}\)
\(\frac{1}{Q_t}=\frac{1}{Q_r}+\frac{1}{Q_i}\)
ここに\(Q_t\)はアンテナ全体のQuality factor, \(Q_r\)は空間に放射されるエネルギー損失による，\(Q_i\)はアンテナ内部の損失によるQuality factor，です．
このユーザー定義関数の使い方
ユーザー定義関数を読み込む
- 上記のユーザー定義関数ファイル q.eqnをダウンロードして保存しておく．
- sonnetで
Graphタブを選ぶか，[Launch][Graph Response]でGraphタブを開く - グラフのタブで[Graph][User Equations…]で
user equationsダイアログを開く user equationsダイアログで[Load and Replace…]ボタンか[Load and Appned…]ボタンをクリックする- 上記で保存したファイルを指定する．
- 読み込まれたユーザー定義関数が現れるので[OK]ボタンでダイアログを閉じる
Qを抽出する
直列共振回路(共振周波数でインピーダンスが最小になる)場合
- [Graph][Manage Curves…]で
Manage Curvesダイアログを開く ➕AddでLeft AxisにCurveを追加しMeasurementをZ-parametersに，FormatをImaginaryに，Data SourceのFileやparametersを目的のデータに設定する．Portsは原則`1,1`だが，それ以外の場合は”ポートが11以外の場合”を参照➕AddでRight AxisにCurveを追加しMeasurementをQzに，Data SourceのFileやparametersを目的のデータに設定する．➕AddでRight AxisにCurveを追加しMeasurementをLzに，Data SourceのFileやparametersを目的のデータに設定する．- [OK]で
Manage Curvesダイアログを閉じる - 追加した
Curve(例えばImag[Z11])が負から正に右上がりで0を横切る周波数が，共振周波数なので，その周波数でQz(Quality factor)とLz(等価直列インダクタンスEquivalent Serial Inductance)を読み取る．
並列共振回路(共振周波数でインピーダンスが最大になる)場合
- [Graph][Manage Curves…]で
Manage Curvesダイアログを開く ➕AddでLeft AxisにCurveを追加しMeasurementをY-parametersに，FormatをImaginaryに，Data SourceのFileやparametersを目的のデータに設定する．Portsは原則`1,1`だが，それ以外の場合は”ポートが11以外の場合”を参照➕AddでRight AxisにCurveを追加しMeasurementをQyに，Data SourceのFileやparametersを目的のデータに設定する．➕AddでRight AxisにCurveを追加しMeasurementをCyに，Data SourceのFileやparametersを目的のデータに設定する．- [OK]で
Manage Curvesダイアログを閉じる - 追加した
Curve(例えばImag[Y11])が負から正に右上がりで0を横切る周波数が，共振周波数なので，その周波数でQy(Quality factor)とCy(等価並列キャパシタンスEquivalent Parallel Capacitance)を読み取る．
ポート
共振回路は本質的に2つの端子に接続されるので，1ポート回路でなければならない．2ポート以上の系で測定やシミュレーションした場合にはなにかの方法で1ポートに変換しなければならない
特定の1ポートに接続された共振回路だけを観測する場合
Manage Curvesダイアログで観測したいポートを指定するとともに，ユーザー定義関数の引数を下記の手順で変更しなければならない．
- [Graph][User Equations…]で
user equationsダイアログを開く user equationsダイアログで編集すべき関数を選んで[編集]ボタンをクリックし，Equation Editorを開くEquation Editorのexpressionので最初の行ARG A = z 11の11を目的のデータのポートに設定する- [OK]ボタンで編集を終了する
- [OK]ボタンで
Equation Editorを閉じる
2ポートに共振回路が接続された場合
右図のように不要なポートを短絡なり開放（大きな抵抗)することで1ポート回路に変換できる．
series-thru接続の場合はY11から並列共振周波数のQyと等価並列キャパシタンスCyを抽出できる．
shunt-thru接続の場合はZ11から直列共振周波数のQzと等価直列インダクタンスLzを抽出できる
関数の定義内容と理論
Q factor
\(Q=\frac{\omega_0}{2}\left| \frac{z'(\omega_0)}{z(\omega_0)} \right|\)
or
\(Q=\frac{\omega_0}{2}\left| \frac{y'(\omega_0)}{y(\omega_0)} \right|\)
これをsonent emgraphのユーザー関数に実装すると．
ARG A=y11
FREQ/2*mag(
(A[f+1]-A[f-1])
/(FREQ[f+1]-FREQ[f-1])
/real(A[f]))一行目のARG A=は，並列共振ではARG A=y11,直列共振ではARG A=z11に．
一つの系で並列共振と直列共振が同居していることは多いから，別の関数QzとQyにした．分母のreal(A[f])は本来はmag(A[f])だが，共振周波数ではreal(A[f])と等しい．real(A[f])の方が共振周波数からずれた領域での変化がmag(A[f])より穏やかで読み取りやすいのでreal(A[f])とした．
共振回路の等価素子
ARG A = y11
imag(
(A[f+1]-A[f-1])
/(FREQ[f+1]-FREQ[f-1])
)
/2/2/pi一行目のARG A=は，並列共振ではyを選んで等価キャパシタンス，直列共振ではzを選んで等価インダクタンスが関数の値となる．
検証
右図のようにポート1に直列共振回路，ポート２に並列共振回路を接続した回路で検証してあります．
どちらの共振回路も\(\omega_0 =1 \mathrm{(Grad/sec)}, Q=100\)
