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ボンディングワイヤの電気的特性を回路設計に含める場合， ワイヤ長が概ね半波長以下であれば，Sonnetの電磁界解析モデルで 十分な精度が得られます． ワイヤ長が概ね1/4波長以下であれば，必ずしも電磁界解析の必要はなく， π型のLPF回路を近似式で表現したモデルで回路シミュレーションすれば十分です． ワイヤ長が半波長を超える周波数領域では解析モデルの精度より 製造の安定性が問題になります．その場合ボンディングよりも 短い電気長が実現できるバンプ接続が現実的でしょう．

ワイヤ長が$$$\lambda/4$$$以下の範囲では， ボンディングワイヤは単なる$$$\pi$$$型LPFとみなすことができます． LPFの対地キャパシタンスは パッド面積$$$S$$$がパッドからグランドまでの距離$$$h$$$より 十分大きい場合，すなわち$$$\sqrt{S} \gg h$$$な領域では $$ C = \varepsilon_r \varepsilon_0 \frac{S}{h} $$ そうでない領域では概ね $$ C = \varepsilon_r \varepsilon_0 ( \frac{S}{h} + 2 \sqrt{S} ) $$ で計算できます．
直列インダクタンス$$$L$$$は ボンディングワイヤの直径$$$d$$$とループ高さ$$$h_L$$$から概ね $$L \approx h_L(7.04\times10^{-4} \cdot \ln{\frac{h}{d}}+3.8\times10^{-4})(\mathrm{nH})$$ で計算できます．

複数のボンディングワイヤが間隔$$$D$$$を隔てて並行している場合の ボンディングワイヤ間の結合係数$$$k$$$は概ね $$k \approx e^{-1.29\cdot\frac{D}{h_L}-1}$$ です．

ワイヤ長が$$$\lambda/2$$$程度までは， ボンディングワイヤを他の回路パターンと同時に Sonnetで解析することができます． その場合，図のように ワイヤ径$$$d$$$,ループ高さ$$$h_L$$$のボンディングワイヤを 幅$$$1.75 d$$$,高さ$$$0.85 h_L$$$のストリップ線路で 近似した構造に置き換えれば，計算時間を大幅に節約できます．

ボンディングワイヤが図のように円弧を描くとすると， ボンディングワイヤを流れる電流と， そのリターン電流の経路が電流ループを構成する． この電流ループの大きさにより三つの部分に分けて考える必要があります．[1]

以上の考察をSonnetの解析結果で確認します．

右図のボンディングワイヤモデルは ループ高さ$$$h_L=1\mathrm{mm}$$$,基板厚さ$$$h=1\mathrm{mm}$$$,ループ長$$$l=約3\mathrm{mm}$$$で

25GHzで

ワイヤ長$$$l=\lambda/4$$$

50GHzで

ワイヤ長$$$l=\lambda/2$$$になります．

このボンディングワイヤの$$$\mathrm{Im}(Z)$$$は 概ね25GHzまでは周波数に対して直線的に変化しており， その領域でインダクタンスとみなすことができます． そして 60GHzに並列共振点があり，この周波数ではボンディングワイヤは もはや伝送路として使うことができません． 以上の解析結果から

ワイヤ長が$$$\lambda/4$$$以下の領域では

等価インダクタンスを

ワイヤ長が$$$\lambda/4$$$から$$$\lambda/2$$$程度の領域では

共振周波数を

調べれば ボンディングワイヤの電気的特性を十分把握できるはずです．

このモデルで ワイヤ径をd=10um,31um,100um
ループ高さをhl=100um,316um,1000umと変化させて
それぞれ30GHzまで解析しました
いずれの場合も20GHz程度まで インピーダンスは周波数に比例していることが確認できます．

グラフは二つのワイヤを距離$D$まで接近させた モデルbw_pair.zonで 二つのワイヤの距離D をループ高さ$$$h_L$$$の0.2倍から5倍まで
ループ高さを100$$$\mu$$$mと316$$$\mu$$$mに変化させた結果です．

結合係数$$$k$$$は $$$\mathrm{Im}(Z_{21})/\mathrm{Im}(Z_{11})$$$ なので，このデータから近似式 $$k \approx e^{-1.29\cdot\frac{D}{h_L}-1}$$ $$M=k \cdot L$$ が得られます

上記のSonnetの解析モデルでは 円弧を描いたボンディングワイヤを, 右図のように 階段状のモデルで近似しました． 円弧を$$$\frac{\pi}{2N}$$$毎の角度で分割し， 円弧に内接する階段と外接する階段が考えられますが， 上記の検討ではN=5の外接モデルを使いました．

しかし多数のボンディングワイヤを同時に電磁界解析するためには 実用的な解析時間で解析できるようにモデルを単純化する必要があります．

以下ではこの階段近似モデルの妥当性を検討し, より単純なモデルを求めます．

N=1,2,3,4,5で，しかも外接，内接の場合で解析してみると 並列共振周波数は最大±10%変動します．

特にNが小さいとviaの長さが波長に対して無視できない長さになるので Sonnetの解析モデルでは原理的に誤差が大きくなってしまいます．

同様にインダクタンスも最大±10%変動しました． N=1で外接するモデルは最もインダクタンスが大きく， N=2で内接するモデルは最もインダクタンスが小さい結果になりました． Nが大きい時は概ねその中間に収束します．